پنج شنبه, 02ام آذر

شما اینجا هستید: رویه نخست ایران پژوهی جستار چیستان‌ها و شعبده‌های ریاضی در کتاب تحفةالغرائب

جستار

چیستان‌ها و شعبده‌های ریاضی در کتاب تحفةالغرائب

دکتر محمدرضا توکلی صابری

معرفی کتاب «تحفة الغرائب»

تحفه الغرائب* کتابی است که در قرن پنجم هجری نوشته شده است. تاریخ تالیف آن در منابع مختلف بین سال ٣۵۴ تا ۵١٣ هجری قمری آمده است، اما مصحح کتاب آن را در حدود سال ۴٨۵ می‌داند. این کتاب یک دائرةالمعارف علمی زمان خودش است. این اطلاعات بهترین و علمی‌ترین نوع اطلاعات تا زمان خودش بوده است. فصل بیستم تحفةالغرائب در مورد مسایل ریاضی، هندسی و جبری، چیستان‌ها، سرگرمی‌ها، و شعبده‌های ریاضی است که  در مجالس و محافل آن زمان به کار می‌رفته است. این فصل سطح جدی‌ترین دانش بشری یعنی ریاضیات کاربردی را در ایران نشان می‌دهد.

علاوه بر اهمیت آن به عنوان یک کتاب علمی ایرانی، از نظر جهانی اهمیت آن از نظر تاریخ شعبده بازی است. قدیمی ترین کتابی که در باره شعبده بازی نوشته شده است توسط کشیشی فرانسیسکن به نام لوکا پاچیولی در بین سالهای ١۴٩۶ و ١۵٠٨ نوشته شده است. اهمیت کتاب طبری این است که تاریخ شعبده بازی را سر و ته می‌کند. زیرا این تاریخ را در حدود پانصد سال به عقب می‌برد و این افتخار بزرگی برای ایرانیان است.

از آنجایی که این کتاب در طی هزار سال توسط نسخه بردارانی که شاید سواد خواندن کمی داشته اند و به موضوعات ریاضی آشنایی نداشته اند نوشته شده است و اصطلاحات قدیمی در آن به کار رفته است، ممکن است برای همگان قابل فهم نباشد. در زیر ما متن مسایل و راه حل آنها را از کتاب تحفه الغرائب نقل کرده و سپس به ارائه راه حل آنها می پردازیم.

 

باب بیستم در نمودن بازیهای چابک لطیف و مجلس‌ها و جای‌ها

و اگر خواهی که چون جمعی جایی حاضر آمده باشند و خواهند که لعبه‌ای چابک نمایند به شمارها، وجهی چند اندر این باب یاد کنیم:

چون انگشتری یا چیزی دیگر در میان قومی پنهان کرده باشند و خواهند که پیدا کنند که کدام کس دارد، باید که یکی را بفرمایند تا در دل خویش کرد از دست راست آن کس تا آنجا که انگشتری دارد بشمارد، چون شمرده باشند، گوید که  نیمه آن بر وی افزای. چون افزود، بپرسد که: آن حاصل کسور افتاد، یعنی نیمه آن افتاد، یک عدد نگاه دارد. و اگر گوید: هیچ نیفتاد، نگاه ندارد و آن یک عدد پس اگر افتاده بود، نیم درم بر وی نه تا تمام شود. چون تمام کرده باشد، باز گوید: دوم بار که نیمه آن مبلغ بر وی افزای. چون برافزود، بپرسد که:  در وی کسور افتاد یا نه؟ اگر گوید که افتاد، عدد دیگر بر آن یک عدد نگاه داشته افزای. اگر یک داشته باشی و اگر نداشته باشی، این دو نگاه دار و بگو آن کس را که: کسور تمام کن. چون تمام کرد، گوید که: نه از وی برو. چون برفت بگو:  نه دیگر برود. همچنان نه نه از وی همی رود تا آن ساعت که در او نه نباشد و به هر نهی که رفته باشد چهار عدد بر آن عدد نگاه داشته همی افزاید، اگر دارد و اگر ندارد، چهار چهار نگاه همی دارد، و آنگه ببیند که چه حاصل آمده است. آنچه آمده باشد از دست راست آن مرد بشمارد تا آنجا که برافتد انگشتری بستاند.

مثالش: چنان که اگر در مجلس پانزده کس حاضر باشند، یکی از ایشان انگشتری پنهان کرده، و هفتم کس دارد و میان آن گروه کس را معلوم نیست که آن انگشتری که دارد مگر آن کس که انگشتری پنهان کرد.  پس گفتم: بشمار تا آن کس که گفت: بشمردم. گفتم:  نیمه وی بر وی افزای. گفت: افزودم. پرسیدم که: کسور هست در وی یا نه؟ گفت: هست، ما یک عدد نگاه داشتیم.  و گفتم: آن کسور تمام کن. گفت: کردم. گفتم دو بار نیمه وی بر وی افزای. گفت: افزودم. گفتم: کسورست؟ گفت: هست، ما دو عدد بر آن یک عدد دیگر افزودیم تا سه شد. آن سه نگاه داشتیم و گفتم: آن کسور تمام کن. گفت: تمام کردم. گفتم: نه از وی برو. گفت: رفتم. ما چهار عدد بر آن سه عدد نگاه داشته افزودیم تا هفت حاصل شد. گفتم: نه دیگر ببر. گفت: نیست. معلوم شد که هفتمین کس دارد.

در این شعبده بازی که به آن پیش‌بینی و یا روشن‌بینی می گویند، در جمعی از افراد یک نفر انگشتری  را به یکی از حاضرین در سمت راست و یا سمت چپ خود می دهد و بدون آن که بگوید که به نفر چندم داده است از شعبده می‌خواهد انگشتر را پیدا کند. شعبده باز از صاحب انگشتر می‌خواهد که بدون این که به او اعلام کند، از خودش تا شخصی که انگشتر را دارد بشمارد و هر عددی بود نیمی از آن را به همان عدد بیفزاید. سپس از وی میخواهد اگر عدد اعشاری در آمد، یعنی عدد کامل نبود، نیمی به آن بیافزاید تا عدد کامل شود. در این حال اگر عدد اعشاری بود، شعبده باز عدد یک را نگاه می دارد واگر عدد کامل بود، کاری نمیکند. سپس برای بار دوم می گوید، حاصل جمع هر عددی بود نیم همان عدد را به عدد به دست آمده بیافزاید. بعد می پرسد عدد کامل بود یا اعشاری، اگر اعشاری بود عدد دو را به عدد یک می‌افزاید و اگر عدد کامل بود، کاری نمی کند. سپس به او می گوید که عدد نه را از آن کم کند. اگر عدد از نه  کمتر بود کاری نمیکند و محاسبه اینجا تمام شده و از طرف صاحب انگشتر به سمت چپ و یا راست شروع به شمردن می کند تا انگشتر را پیدا کند (البته باید به نحوی بپرسد که طرف چپ اوست یا راست او است). اگر باقیمانده از نه بیشتر بود باز عدد نه را از آن کم کند و این کار را  تا جایی  ادامه دهد که باقیمانده از نه کمتر باشد. به ازای هر تفریق از نه، شعبده باز عدد چهار را به عدد سه که تا اینجا به دست آورده بود بیفزاید.

یک مثال عددی این موضوع را روشن تر می کند. فرض کنید آن شخص انگشتر را به نفر هفتم از سمت چپ و یا راست خودش داده است. بار اول نیمی از عدد هفت را که سه و نیم است به آن اضافه می کند و حاصلش ده و نیم می شود. صاحب انگشتر اعلام می کند که عدد اعشاری است. ما عدد یک را نگاه می داریم . سپس به او می گوییم آن را به نزدیکترین عدد کامل کند و دوباره نیمی از آن را به آن بیفزاید. او آن را به یازده کامل می کند و نیمی از آن را ( که پنج و نیم است) به آن می افزاید. حاصل شانزده و نیم می شود. صاحب انگشتر اعلام می دارد که عدد اعشاری است. می گوییم که آن را کامل کند. او عدد هفده را به دست می آورد.  ما عدد دو را به عدد یک که پیش از این نگاه داشته ایم اضافه می کنیم. حال به او می گوییم عدد نه را از آن کم کن. او این کار را می کند و هشت را به دست می آورد و در این جا متوقف می شود، چون به عدد کمتر از نه رسیده است. ما عدد چهار را به عدد سه می افزاییم و عدد هفت به دست می آید. نتیجه می گیریم که نفر هفتم انگشتری را در دست دارد.

نوعی دیگر: اگر گروهی در مجلسی حاضر باشند، یکی از ایشان عددی چند پنهان کرد در دست و گفت این عدد کم از ده است می‌خواهم که او را ده گردانی و یکی دیگر زیادت بدهی و هم چندین دیگر که دارم بدهی و پنج از بهر فلان کس بدهی.  پس ما ده عدد برداشتیم که وجه شمار این است. از بهر آن که گفت: ده گردانی. و گر بیست گفتی، بیست برداشتیم. و دیگر یکی برداشتیم که یکی زیادت خواست و پنج عدد دیگر از بهر دیگر فلان برداشتیم. جمله شانزده برداشتیم تمام. گفتم: فرو ریز، چون فرو ریخت، دو بود. ما او را هشت برافزودیم تا ده شد، هشت ما را بماند، یکی دیگر او را دادیم از بهر آن که یکی زیادت خواسته بود، هفت بماند. پنج دیگر از برای فلان بدادیم، دو بماند. گفتم: این، آن مقدار بود که تو داشتی و جمله بر این کردار باشد.

در اینجا شعبده باز به شخصی می گوید به یک عدد کمتر از ده فکر کن، و عددی به آن اضافه کن تابه ده برسد. سپس یک عدد از عددی که به آن افزودی تا ده شود کم کن، پس از آن عدد پنج را از آن کم کن. حال بگو چقدر باقیمانده است. وقتی او می گوید عدد دو است، معلوم است که به دو فکر کرده است. برای مثال،  تصور کنید به عدد سه فکر کرده است و عدد هفت را به آن افزوده است تا ده شود. وقتی از او خواستیم عدد شش را از آن کم کند، یک باقی می ماند. چون قبلا  شش کم کرده بود به اضافه این یک می شود هفت. اگر آن را از ده کم کنیم می شود سه.

نوعی دیگر: در مجلسی حاضر آیند جمعی، یکی از ایشان گوید که: میان ما دو کس ده عدد پنهان است، پیدا باید کرد که هر کی از ما چند دارد. وجه شمار آن این است که آن ده را اصل خوانیم و ده بار برهم گیری تا صد شود، و او را اصل خوانیم. پس گوییم: از آن دو یکی را که آنچه تو داری، دو چندان کن، و آن دیگر را گوییم: آنچه تو داری، ده چندان کن و آن جمله به هم گردآور، و بگو که چندست.  چون بگوید که چندست تا از آن اصل برویم، آنچه بماند به دو کمتر از اصل ببخشیم، آنچه برود، ده، از مال مرد نخستین باشد و تمامت آن ده، مال مرد دوم بود.

مثالش: چنان که ما را گفت: ده عددست. این اصل است، این اصل را ده بار به هم گرفتیم، صد بود. این اصل است. پس گفتیم یکی را که:  اعداد که تو داری مضاعف کن. گفت: کردم. و آن دیگر را گفتیم: آنچه تو داری ده بار برهم گیر. گفت:  گرفتم.  گفتم:  بگوی که چندست جمله؟ گفت: هفتادوشش. آن را از اصل اصل برفتیم.  بماند بیست و چهار، آن را بر هشت بخشیدیم، دو کمتر از اصل سه از آن حاصل آمد، معلوم شد که آن مرد نخستین را که گفتم که عدد تو دو چندان کن، سه داشت، و تمامت سه تا ده، هفت باشد. این مرد دیگر داشت که او را گفتیم آنچه تو داری ده بار برهم گیر تا معلوم شد که او هفت دارد.

در اینجا به به دو نفر می گوییم که دو عدد را انتخاب کنید که مجموع آن ده شود. یکی عدد سه را انتخاب می کند ودیگری عدد هفت را. به اولی می گوییم عددی را که انتخاب کرده ای ضربدر دو کن و به نفر دومی می گوییم که آن را ضرب در ده کند و حاصل هردو عدد را با هم جمع کنند و به ما بگویند. به ما می گویند که حاصل دو عدد هفتاد وشش می شود. ما عدد ده را ضربدر ده می کنیم تا صد شود، سپس هفتاد و شش را از صد کم می کنیم تا عدد بیست و چهار به دست آید. آن را بر هشت تقسیم می کنیم تا عدد سه به دست آید. این عددی است که نفر اول به آن فکر کرده است. آن را از ده کم می کنیم عدد هفت به دست می آید که نفر دوم به آن فکر کرده است.

این یک دستگاه دو معادله دو مجهولی است که از طریق جبری هم می شود آن را به این ترتیب حل کرد: (P حاصل جمع دو عدد پس از دو برابر و ده برابر کردن آنها است)::

 x+y=10 Þ y=10-x
 2x+10y=P Þ 2x+10(10-x)=P Þ 2x+100-10x=P Þ 8x=100-P Þ x=(100-P)/8

اگر در میان گروهی سه کس گوید که: ما سه کس دوازده عدد داریم، پیدا باید کرد که هر یکی چند داریم؟ که دوازده را اصل خوانیم. و آنگه دوازده (را) دوازده بار بر هم گیریم تا صدو چهل و چهار حاصل شود. این را اصل اصل خوانیم و نگاه داریم و یکی را گوییم:  آنچه تو داری دوچندان کن و دیگری را گوییم: آنچه تو داری یازده بار برهم گیر یکی کمتر از اصل و آن سیم را گوییم: آنچه تو داری دوازده بار برهم گیر. چون کردند، بپرسیم که: جمله چندست؟ چون گفت، ما عدد از اصل اصل برویم.  باقی را که بماند بر ده که دو کمتر از اصل است، ببخشیم. آنچه برود، عدد مرد نخستین باشد که عدد وی دو چندان کرده بودیم، و تمامت هر دو به اصل مرد سیم باشد.

مثالش: چنان که میان سه کس سه عدد پنهان کردند که جمله دوازده باشد، و این دوازده اصل است. پس این دوازده را دوازده بار برهم گرفتیم، صدوچهل و چهار شد، این جمله اصل اصل است.  پس یکی را گفتیم:  آنچه تو داری مضاعف کن، و دیگری را گفتیم:  آنچه تو داری یازده باربر هم گیر یکی کمتر از اصل، و سیم را گفتیم: آنچه تو داری دوازده بار برهم گیر چندان که اصل است. چون کردند، بپرسیم که جمله چندست؟ گفت:  صدوبیست. از عدد آن صد و چهل و چهار برفتیم بماند بیست و چهارکه  او را بر ده بخشیدیم که دو کمتر از اصل است. برفت، دو بماند، چهار. گفتیم که: عدد مرد نخستین است که عدد او دو چندان کرده بودیم. و چهار که بماند، عدد آن مردست که او را یازده یازده برهم گرفته بودیم. چهار و دو تا دوازده، شش باشد، آن مرد سیم است که دوازده بار دوازده برهم گرفته بودیم.

ادر این مسئله سه نفر به سه عدد فکر می کنند که مجموع آنها دوازده می شود. به نفر اول می گوییم عدد خود را ضربدر دو کند، به نفر دوم می گوییم عددش را ضربدر یازده کند و به نفر سوم می گوییم آن را ضربدر دوازده کند و جمع این حاصل ضرب ها را به ما بگوید. عدد حاصل را از صد و چهل و چهار (حاصل ضرب دوازده در دوازده) کم می کنیم. فرض کنید گفته اند صد و بیست. بنابراین باقیمانده می شود بیست و چهار. آن را به ده تقسیم می کنیم، می شود دو. باقیمانده عدد چهار است. دو عدد مرد اولی است که آن را ضربدر دو کرده بود و چهار عدد مرد دومی است که ضربدر یازده کرده بود. جمع چهار و دو می شود شش که اگر از دوازده کم کنیم عدد شش می ماند که عدد نفر سوم است که ضربدر دوازده کرده بود.

نوعی دیگر:  همین شمار در میان جمعی بتوان کردن و نیکو باشد:  باید که مشتی نخود بیاورند و ده دانه از آن جمله بردارند و سه کس را دهند تا هر کس چندان که خواهد، پنهان کند. چون کردند، صد دانه دیگر بر طبقی کنند. اگر آن که داده بودند، ده دانه بود، زیرا باید ده چندان تو بود، و (پس به شخص اول بگو) دو چندان که تو داری بردار پنهان، و چهار کسی را ده. چون (نخودها را به آن شخص) داد. (به شخص) دوم  (بگو) نه چندان که تو داری بردارد (در اینجا چند کلمه جا افتاده  که باید این باشد: به پنجم کس ده. وقتی چنین کرد به سوم کس بگو ده چندان که تو داری) ششم کسی را ده.  چون کردند و دادند، آن باقی را که بر طبق باشد، هر هشتی که اندر وی باشد، بیفگن، و نگاه دار که چند افگندند که آن عدد مرد نخستین باشد که دو چندان (نخود) به مردم چهارم داد. پس چهارم را گویند که تو دوچندان داری، و آنچه بر طبق بماند، آن هشت، عدد مرد دوم بود، و پنجم پانزده بار (باید نه بار باشد) چندان دارد و تمامت (مجموع عدد) مرد نخستین و دوم تا ده، عدد آن مرد سیم باشد و ده چندان مرد ششم داد، و جمله بر این کردار باشد.

مسئله بالایی فرق تصحیح ادبی و علمی را به خوبی نشان می دهد. این مسئله یک جاافتادگی دارد و آن نفر سوم است که معلوم نیست چند برابر نخود به مرد پنجم داده است. هم چنین یک جمله تکراری که ما آن را در پرانتز گذاشته ایم. حل این مسئله به این شکل امکان ندارد، چون اطلاعات لازم برای محاسبه جا افتاده است.

اگر جماعتی حاضر آیند و گویند سه پاره قلم یا چوب را به سه زخم چون بزنیم، نه پاره حاصل آید؟ چون چنین خواهیم، وجه بریدن آن باشد که هر سه چوب را مثلثی سازیم چنان که در آن مثلث سه عقد حاصل آید. پس به هر عقدی زخم زنیم، نه پاره گردد بر این کردار :

این یک مسئله هندسی است. سه خط را در سه نقطه طوری با همدیگر قطع کنید که نه قطعه شود. در شکل بالا قطعات مشخص شده اند.

دیگر اگر گویند که خواهیم که سه پاره چوب را به دو زخم به هفت پاره کنیم، چون باید کردن؟ باید که دو چوب بنهند و بر بالای هر دو یکی بر پهنا بر این کردار که نمودیم تا دو عقد تقاطع بر وی پدید آید. پس هر عقدی زخم بزنند، هفت پاره گردد چنین که پیدا کردیم:

در این مسئله همان طور که در شکل فوق نشان داده شده است سه خط را با دو تقاطع به هفت قسمت می توان تقسیم کرد.

دیگر  اگر گویند که خواهیم که چهار پاره چوب را به چهار زخم بریم که دوازده پاره شود، چگونه باید کردن؟ جواب گوییم که از  چهار پاره مربعی سازیم چنان که چهار تقاطع بر او پیدا شود بر این کردار که نمودیم.  پس به هر تقاطعی زخمی بزنیم، تا دوازده پاره بیفتد بر این کردار که بنمودیم:

در این مسئله مطابق شکل بالا چهار خط را با چهار نقطه تقاطع به دوازده بخش تقسیم می کنیم.

دیگر اگر گویند که خواهیم که پنج پاره چوب را به پنج زخم چنان ببریم که از وی پانزده پاره حاصل آید، گوییم که از آن پنج پاره چوب را مخمسی بسازیم بر این کردار که بنمودیم که در وی پنج زخم تقاطع بود و به هر نقاطی زخمی بزنیم، پانزده پاره گردد. و جمله بر این کردار بود که یاد کردیم:

در این مسئله بر طبق شکل بالا پنج خط را با پنج تقاطع به پانزده بخش تقسیم می‌کنیم.

شهرستانی است گرد بر گرد آن شهرستان شصت فرسنگ، و دوازده  دروازده دارد. پس پادشاه آن شهر هفت برید را از آن شهر به راه افگند.  نخستین را گفت: تو هر روز یک فرسنگ برو.  دوم را گفت:  هر روز دو فرسنگ برو.  سیم را گفت:  هر روز سه فرسنگ برو.  چهارم را گفت هر روز چهار فرسنگ برو.  پنجم را گفت هر روز پنج فرسنگ برو.  ششم را گفت:  هر روز شش فرسنگ برو.  هفتم را گفت:  هر روز هفت فرسنگ برو. جمله گرد شهر برآیید بر این مقدار که گفتم.  چون هر هفت به دروازه رسید مرا خبر دهید. .رفتند و گرد بر گرد شهر برآمدند و به یک بار به دروازه رسیدند.  پیدا باید کرد که هر یک چند بار گرد شهر برآمده باشند و هر یک به چند روز آنجا رسیده باشند.

چنان است که آن مرد که هر روز هفت فرسنگ رفت، چهارده بار گرد شهر برآمده باشد به صد و بیست روز.  آن که هر روز شش فرسنگ رفت، دوازده بار گرد شهر بر آمده باشد به صد و بیست روز.  و آن که هر روز پنج فرسنگ رفته باشد ده بار گرد شهر برآمده باشد به صد و بیست روز.  و آن که هر روز چهار فرسنگ رفته باشد هشت بار بر گرد شهر برآمد باشد به صد و بیست روز.  و آن که هر روز دو فرسنگ رفته باشد، چهار بار گرد شهر برآمده باشد به صد و بیست روز.  و آن که هر روز یک فرسنگ رفته باشد، دو بار گرد شهر برآمده باشد به صد و بیست روز آنجا رسیده باشد.

در این معما پادشاهی هفت پیک خود را از درواز شهری که پیرامونش شصت فرسنگ بوده است می فرستد و به اولین پیک می گوید روزی یک فرسنگ برو و به پیک دوم تا هفتم به ترتیب می گوید روزی دو تا هفت فرسنگ بروند. از آنجایی که پیرامون شهر شصت فرسنگ بوده است وهمه در یک روز به آن دروازه رسیده اند، نفر اول که روزی یک فرسنگ می رفته است پس از شصت روز می رسد و چون بقیه هم مانند پیک اول پس از شصت روز می رسند،  بنابراین سرعت آنها به ترتیب دو تا هفت برابر او بوده است تا توانسته اند همزمان با او به آنجا برسند. یعنی نفر دوم تا هفتم به ترتیب دو، سه، چهار، پنج، شش، و هفت دور دور شهر گشته است که اگر هر دور را شصت فرسنگ حساب کنیم مسافت طی شده توسط هریک به ترتیب به دست می آید. اما طبری در توضیح مسئله برای پیک اول دو دور حساب کرده است و بنابراین تعداد دورها و مسافات برای بقیه پیک‌ها دوبرابر شده است.

دیگر سه گونه بنگاه است مخالف یکی ده پاره و یکی سی پاره و یکی پنجاه پاره، می باید فروخت. هر سه گونه به یک نرخ چنان که آن هر سه گونه راست است به هم بها آید. پیدا باید کردن که چگونه فروخته آید، که اگر یکی پاره از کمترین به درمی دهد، جمله را ده درم حاصل آید. و آن سی پاره را نیز هر یکی را به درمی باید فروخت، سی درم حاصل آید. و آن پنجاه پاره هر یکی به درمی باید فروخت، پنجاه درم حاصل آید و با یکدیگر راست نباشد و کمترین هر ده به درمی دهد، آن سی را نیز هر ده به درمی دهد، سه درم باشد.  و پنجاه را پنج درم به هم راست نباشد.  وجهش آن است که چون مشتری بیاید، فروشنده گوید:  هر هفتی را که اندر ایشان است به درمی دهم، و هر چه از هفت باز ماند، هر یکی به سه درم دهم. چون چنین کند، بها و نرخ راستار است باید چنان که ده پاره را هفت به درمی دهد، سه بماند به سه درم دهد، هر یک ده درم حاصل آید.  و سی پاره را هر هفت به درمی دهد، چهار هفت را چهار حاصل آید، و بماند باقی هر یک به سه درم دهد، شش جمله ده درم حاصل آید. و پنجاه را هفت به یک درم دهد هفت بار هفت درم حاصل آید، یکی از پنجاه بماند، بها سه درم، جمله ده درم باشد. هر سه بها به هم راست باشد.

سه قطعه زمین یا ملک وجود دارد که که یکی ده قسمت (یا دانگ) و دیگری سی قسمت و سومی پنجاه قسمت است. می‌خواهیم هر یک از این سه ملک را به ده درهم بفروشیم، بدون آن که از عدد کسری استفاده کنیم و واحد ها همگی به درهم باشند و تقسیم نشوند و واحد ها را هم به طور مستقل بفروشیم. راه حل آن این است که هر هفت پاره از این املاک را به یک درهم و هر یک پاره باقیمانده را به سه درهم بفروشیم. به این ترتیب باید ملک ده پاره را هر هفت قسمتش را به یک در هم بفروشیم و هر سه پاره باقیمانده را به سه درهم بفروشیم. در این حالت برای هفت قسمت یک درهم و برای سه قسمت باقیمانده که هر قسمت را سه درهم فروخته‌ایم نه درهم به دست می آوریم که در مجموع این ملک ده پاره را به ده درهم فروخته ایم. برای ملک سی پاره هر هفت پاره را به یک درهم می فروشیم که در این حال برای بیست و هشت پاره چهار درهم به دست می‌آوریم و دو پاره باقیمانده را هر پاره به سه درهم می فروشیم که شش درهم می شود و در مجموع ده درهم از فروش این سی پاره حاصل شده است. برای ملک پنجاه پاره هر هفت پاره را به یک درهم می‌فروشیم و هفت درهم به دست می آوریم و یک پاره باقیمانده را هم به سه درهم می فروشیم و ده درهم به دست می‌آوریم.

دیگر سه مرد با هم به راهی می رفتند. با یکی سه نان بود. می رفتند. با یکی دو نان و با سوم هیچ نبود. در وقت چیزی خوردن به یک جا نشستند و آن پنج نان با هم بخوردند چنان که هیچ نماند. آن مرد که نان نداشت گفت که نان شما چند بود؟ گفتند: پنج نان. آن مرد پنج درم به آن دو مرد داد و گفت هر یک بهای نان خود را بردارد. آن کس که دو نان داشت، گفت آن دیگر را که تو سه نان داشتی، سه درم بردار و من دو نان داشتم، دو درم بردارم. خداوند سه نان گفت مرا بیش می رسد و میانشان داوری خاست.  پس پیدا باید کرد که هر یک را چه رسد. شمار آن است که آن که سه نان داشت، چهار درم برگیرد، و آن که دو نان داشت، درمی.  از بهر آن که ایشان نان به هم خوردند راست، چهار سه یک نان آن کسی که سه نان داشت این مرد خورده است و سه دیگر آن که دو نان داشت و آن مرد که درم دارد، پنج سه یک خورده است و پنج درم داده.  هر سه یکی را درمی رسد.  چهار سه یک را، چهار درم رسد و سه یکی را درمی و شمار بر این کردار بود.

در این مسئله دو همسفر که یکی سه نان و دیگری دو نان داشتند پنج نان را میان خود و میهمانشان به طور مساوی خوردند. میهمان پنج درهم به آنها می دهد. آن کس که دو نان داشت گفت دو درهم مال من و سه درهم مال تو که سه نان داشتی. اما آن مرد گفت به من سهم بیشتری می رسد. البته او درست می گفت. چون او باید چهار درهم و مردی که دو نان داشت یک درهم بردارد. چون پنج نان میان سه نفر به قسمت مساوی تقسیم شده بود، بنابراین پانزده تکه نان بوده است  که هر کدام از این سه نفر پنج تکه نان را خورده است. میهمان پنج درهم می دهد و هریک از آن دو صاحب نان باید به ترتیب هزینه پنج سوم سه نان و پنج سوم دونان را بگیرند. میزبان که نانی نداشته است و پنج سوم نان را خورده است، پنج در هم می دهد. بهای یک تکه از نان را به شخصی که دو نان داشته است و بهای چهار تکه از نان را به شخصی که سه نان داشته است..
راه حل ریاضی این مسئله چنین است :

           3-5/3=4/3    
        2-5/3=1/3 
  نفر دوم باید به این مقدار پول بگیرد:

: نفر سوم که نانی نداشته است پنج درهم به ازای پنج سوم نانی که خورده است می دهد

  0-5/3=-5/3

بنابراین نفر اول با این حساب باید چهار درهم بگیرد

(4/3*5)/(5/3)=4/3*5*3/5=4

و نفر دوم با این حساب باید یک درهم بگیرد:

(1/3*5)/(5/3)=1/3*5*3/5=1 

این مسئله را به شیوه دیگری نیز می‌توان حل کرد که برای  اختصار آن را نمی آوریم.

دیگر پادشاه آن دو شهر مختلف دو رسول فرستادند به یکدیگر. یک پادشاه رسول خود را گفت: هر روز هشت یکی جمله از این راه شهر تا بدان شهر می رو.  و آن دیگر پادشاه رسول خود را گفت:  هر روز ده یکی از این راه شهر تا آن شهر دیگر می رو. اکنون بباید گفت که از این شهر بدان شهر چند فرسنگ بوده است و هر روز هر یک چند فرسنگ رفته اند و کدام روز این رسولان به هم می رسند؟

مثال این شمار چنان است که عدد بدست آوریم که او را ثمن و عشر اندر باشد، و آن چهل است. که پنج، ثمن او باشد و چهار، عشر او. پس هر دو را به هم گرد آوریم، نه باشد. چهل که اصل است بر آن نه که جزوست، ببخشیم، برفت چهار، نه بس چهار، و نه مقدار آن است که هر دو رسول به هم رسیده باشند. پس چهار، را در پنج که ثمن اوست ضرب کردیم، برآمد صد و شصت فرسنگ.  این رفتار آن مردست که هر روز ثمن راه رفته است. و ثمن هر روز چهل و پنج آمده است و عشر سی و شش. و میان این شهر و آن شهر سیصد و شصت فرسنگ باشد، چون هر دو رفتار به هم آوریم.

در اینجا دو پادشاه دو فرستاده خود را از دو شهر به سوی شهر دیگر می فرستند. یکی از آنها باید هر روز یک هشتم و دیگری یک دهم مسافت کل بین دو شهر را طی کند. باید تعیین کرد که مسافت بین این دو شهر چند فرسنگ بوده است و هر کدام چه مسافتی را طی کرده اند و پس از چند روز به همدیگر رسیده اند.

با فرض  این که هر دو فرستاده در یک زمان حرکت کرده باشند و در وسط راه به هم رسیده باشند، زمان سفر ضرب در مجموع سرعت ها برابر مسافت کل بین دو شهر خواهد بود. یعنی زمان سفر ضرب در مجموع یک هشتم و یک دهم برابر مسافت کل خواهد بود . به دیگر سخن ، زمان سفر برابر خواهد بود با یک بر روی مجموع یک هشتم و یک دهم.  کوچکترین مضرب مشترک هشت و ده عدد جهل و مجموع صورت ها ، چهار به علاوه ی پنج، برابر نه خواهد بود. پس مدت سفر برابر با چهل تقسیم بر نه و یا چهار و چهار نهم روز می شود.

اگر هر فرستاده در هر روز مقدار صحیحی فرسنگ حرکت کرده باشد، نه را  باید به ترتیب ضرب در پنج و چهار کنیم تا به ترتیب چهل و پنج و سی و شش به دست آید که مسافت کل راهی است که هر روز هریکی از این فرستاده ها رفته اند. این که مقدار کمترین مقدار صحیحی است که هر کدام در هر روز طی کرده اند.   اگر این دو عدد به دست آمده (یعنی چهل و پنج و سی و شش) را ضربدر هشت و ده (بخشی از مسافتی که هر روز می رفته اند) بکنیم، فاصله کل بین این دوشهر را که سیصد و شصت کیلومتر است به دست می آوریم. از آنجایی که این دو به سرعت یک هشتم و یک دهم حرکت می کرده اند یعنی اگر کل زمان هجده روز بوده است یکی از آنها هشت روز و دیگری ده روز راه رفته است بنابراین  مسیر طی شده توسط یکی ده هجدهم یا پنج نهم است که اگر آن را در سیصد و شصت ضرب کنیم صد و شصت فرسنگ و اگر در هشت هجدهم یا چهار نهم ضرب کنیم مسافت دویست فرسنگ را به دست می آوریم.

این مسئله را می توان با یک معادله ساده حل کرد: اگر فاصله دو شهر را x  فرض کنیم، مسافتی که پیک اول طی می کند   a و پیک دوم b . پس:

x=a+b

سرعت هر پیک را هم پادشاهان مشخص کردند (v1  و   v2 سرعت  هریک از آنها است):

v1=x/8        
v2=x/10   
t

زمان است و طبق ساده ترین فرمول دینامیک با فرض این که شتاب حرکت این افراد صفر باشد:

a=v1*t Þ t=8a/x
b=v2*t Þ t=10b/x

وقتی که این دو پیک به هم می رسند، زمان مساوی را طی کرده اند:

8a/x=10b/x Þ b= (8/10) * a

از اولین فرمول هم داشتیم که:

x=a+b Þ x=a+(8/10)*a Þ x= (18/10) * a

حالا ما تمام مقدارها را داریم و کافی است که فاصله دو شهر را یک عدد فرضی بگیریم، باقی قابل محاسبه خواهند بود.
کاری که در مثال خودش انجام داده سعی کرده عددهایی را فرض کند که جوابهای رند و بدون اعشار بدست بیاورد.
مثلا در اولین فرمول بالا b=(8/10)*a  کوچکترین مضرب مشترک 8  و  10 برابر 40  است که از همین استفاده کرده است.
در مثال طبری  a برابر  160 فرسنگ و  b برابر 200  فرسنگ و جمع آنها 360  فرسنگ می شود.


پی‌نوشت‌ها:

*تحفه الغرائب ، نوشته محمدبن ایوب الحاسب طبری ، ۵٠٨ صفحه ،  ١۶٠٠٠  تومان ، تصحیح جلال متینی ، کتابخانه موزه و مرکز اسناد مجلس شورای اسلامی ١٣٩١

*نویسنده در حل مسایل این کتاب از مشورت و یاری آقای مهندس احمدرضا توکلی صابری و پویا توکلی صابری بهره برده است که در اینجا از ایشان سپاسگزاری می کند.

نوشتن دیدگاه


تصویر امنیتی
تصویر امنیتی جدید

در همین زمینه